Analysis II: Funktionen mehrerer Variablen by Friedmar Schulz

By Friedmar Schulz

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Das System F = { F ⊂ Rn ∣ F abgeschlossen } aller abgeschlossenen Teilmengen des Rn besitzt die folgenden Eigenschaften: (i) ∅, Rn ∈ F , das heißt, die leere Menge und der gesamte Raum sind abgeschlossen. (ii) Sei F ′ ⊂ F ein Teilsystem abgeschlossener Mengen. Dann ist auch ⋂ F ∈ F ∈F ′ F , das heißt, der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. (iii) Sei F ′ ⊂ F ein endliches Teilsystem. Dann ist auch ⋃ F ∈ F , das heißt, F ∈F ′ die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Hier wählt man zunächst eine konvergente Teilfolge (xk ) ∈N von (xk )k∈N und dann eine konvergente Teilfolge (x′k ) von (x′k ) ∈N . Die durch m m∈N xkm ∶= xk m , x′km ∶= x′k m für m ∈ N definierten Folgen leisten Gewünschtes. 5 Lemma. Sei F ≠ ∅ abgeschlossen, K ≠ ∅ kompakt und sei F ∩ K = ∅. Dann gibt es Punkte x ∈ F , x′ ∈ K mit d(F, K ) = inf ∣x′′ − x′′′ ∣ = ∣x − x′ ∣ > 0. 4 Kompakte Mengen 21 Beweis. Es gibt Folgen (xk )k∈N in F und (x′k )k∈N in K mit ∣xk − x′k ∣ → d(F, K ). Da K kompakt ist, gibt es eine Teilfolge (x′k ) ∈N von (x′k )k∈N mit x′k → x′ ∈ K.

Cn ) ∈ Rm genau dann der Limes von f an der Stelle a, wenn c = lim f (xk ) k→∞ für jede Punktfolge (xk )k∈N in D mit xk ≠ a und xk → a für k → ∞. Beweis. „ ⇒“ Sei ε > 0. Wähle δ = δ (ε) > 0 so, dass ∣f (x) − c∣ < ε für alle x ∈ D, ∣x − a∣ < δ, x ≠ a. Sei (xk )k∈N eine Folge in D mit xk ≠ a und xk → a für k → ∞. Dann gibt es ein N = N (δ ) ∈ N, so dass ∣xk − a∣ < δ für alle k ∈ N, k ≥ N . Also ist ∣f (xk ) − c∣ < ε für alle k ∈ N, k ≥ N, das heißt, es gilt lim f (xk ) = c. k→∞ „ ⇐“ Angenommen, c ist nicht der Limes von f an der Stelle a.

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