Analysis 1 by Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

By Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

Dieses Lehrbuch ist der erste Band einer dreiteiligen Einf?hrung in die research. Es ist durch einen modernen und klaren Aufbau gepr?gt, der versucht den Blick auf das Wesentliche zu richten. Anders als in den ?blichen Lehrb?chern wird keine k?nstliche Trennung zwischen der Theorie einer Variablen und derjenigen mehrerer Ver?nderlicher vorgenommen. Der Leser soll in dem Erkennen der wesentlichen Inhalte und Ideen der research geschult werden und sich ein solides Fundament f?r das Studium tieferliegender Theorien erwerben. Das Werk richtet sich an H?rer und Dozenten der Anf?ngervorlesung der research. Durch zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Erg?nzungen zum ?blichen Vorlesungsstoff ist der textual content ausserdem zum Selbststudium, als Vorlage f?r vertiefende Seminare und als Grundlage f?r das gesamte Mathematik- bzw. Physikstudium geeignet.

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Analysis 1

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B) ∅ [bzw. X] ist neutrales Element bez¨ uglich ∪ [bzw. ∩ ] auf P(X). (c) Offensichtlich besitzt X := P(X)\{∅} bez¨ uglich ∪ kein neutrales Element, falls X aus mehr als einem Punkt besteht. Der folgende Satz zeigt, daß neutrale Elemente bez¨ uglich einer Verkn¨ upfung eindeutig bestimmt sind, falls solche u ¨ berhaupt existieren. 11 Satz Es gibt h¨ochstens ein neutrales Element bez¨ uglich einer Verkn¨ upfung. Beweis Es sei eine Verkn¨ upfung auf X, und e sowie e seien neutrale Elemente. Dann folgt e = e e = e , was die Eindeutigkeit beweist.

Schließlich bezeichnen wir mit Abb(X, Y ) die Menge aller Abbildungen von X in Y . 1 ist Abb(X, Y ) eine Teilmenge von P(X × Y ). F¨ ur Abb(X, Y ) schreiben wir auch Y X . Diese Notation ist konsistent mit der Bezeichnung X n f¨ ur das n-fache cartesische Produkt der Menge X mit sich selbst, da letzteres offensichtlich gleich der Menge aller Abbildungen von {1, 2, . . , n} in X ist. 2(f) verwenden. 6. 8 und belege, daß die angegebenen Inklusionen im allgemeinen echt sind. 3 Abbildungen 3 23 Es seien f : X → Y und g : Y → V zwei Abbildungen.

B. [FP85]). h. eine Menge, die ∅ enth¨ alt und mit jedem z auch z ∪ {z}. Setzt man dann N := { m ; m ist induktive Menge } , so zeigt es sich, daß N selbst eine induktive Menge ist. Definiert man schließlich die Abbildung ν := N → N durch ν(n) := n ∪ {n} und setzt 0 := ∅, so kann man beweisen, daß (N, 0, ν) den Peano-Axiomen gen¨ ugt, also ein Modell der nat¨ urlichen Zahlen darstellt. Es sei nun (N , 0 , ν ) irgendein Modell der nat¨ urlichen Zahlen. Dann l¨ aßt sich im Rahmen der Mengenlehre zeigen, daß es eine Bijektion ϕ : N → N gibt, welche ϕ(0) = 0 und ϕ ◦ ν = ν ◦ ϕ erf¨ ullt, eine Isomorphie von (N, 0, ν) auf (N , 0 , ν ).

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