Analysis 2 by Oliver Deiser

By Oliver Deiser

Anschließend an Band 1 werden in diesem Buch diejenigen Inhalte präsentiert, die den Analysis-Zyklus vervollständigen und abschließen. Dabei werden ausführlich die Integration, topologische Grundbegriffe und die mehrdimensionale Differentiation behandelt und zudem Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

Der textual content wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrerinnen und Lehrer. Zahlreiche Aufgaben runden den textual content ab und motivieren eine weitergehende Auseinandersetzung mit dem Stoff. Durch ein hohes Maß an mathematischer Genauigkeit und durch vollständige Beweise bleibt der Anschluss an das Fachstudium gewahrt.

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Der Null-Inhalt für die leere Menge und die Monotonie-Eigenschaften sind anschaulich klar. Mit der Modularität kann man sich anfreunden, indem man beobachtet, dass in μ(A) + μ(B) der Inhalt des Schnitts der beiden Mengen doppelt gezählt wird. Die Eigenschaft ist analog zur aus dem Endlichen bekannten Mächtigkeitsaussage |A| + |B| = |A ∪ B| + |A ∩ B| für alle endlichen Mengen A, B. Wir betrachten wieder einige Beispiele. Beispiele (1) Sei ᐂ wie in Beispiel (1) oben. Dann ist μ : ᐂ → [ 0, ∞ [ mit μ(] a1 , b1 [ ∪ … ∪ ] an , bn [ ) = (b1 − a1 ) + … + (bn − an ), wobei a1 ≤ b1 ≤ … ≤ an ≤ bn , ein Inhalt auf ᐂ.

Weiter sei p = (t k , xk )k ≤ n eine äquidistante Partition des Intervalls [ 0, 1 ] der Länge n + 1. Dann gilt: f(xk ) = xk ∑ p f = ∑ k ≤ n f(x k )(t k + 1 − t k) = ∑k≤ n xk . n+1 Wegen tk ≤ x k ≤ tk + 1 und tk = 0 tk = k für alle k ≤ n + 1 n+1 k n+1 gilt also 1 n+1 k n+1 ∑k ≤ n ≤ ∑p f ≤ 1 n+1 ∑k ≤ n k+1 . n+1 Die Gauß-Formel ∑k ≤ n k = n (n + 1) 2 liefert die Abschätzung n (n + 1) 2 (n + 1)2 ≤ ∑p f ≤ (n + 1) (n + 2) . 2 (n + 1)2 Die linke und die rechte Seite liegen beliebig nahe bei 1/2, wenn n hinreichend groß und damit p hinreichend fein ist.

F(x) = k für alle x ∈ ] (k − 1)/6, k/ 6 [ , 1 ≤ k ≤ 6, f(k/6) = 0 für 0 ≤ k ≤ 6, so ist M(f ) = I(f ) = 3,5. Dies ist gleich dem Erwartungswert beim Würfeln mit einem fairen Würfel. 32 1. Abschnitt Integration Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass eine stetige und in ] a, b [ differenzierbare Funktion f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬ihre mittlere Steigung m = f(b) − f(a) b−a in ] a, b [ annimmt, also ein p ∈ ] a, b [ mit f ′(p) = m existiert. Wir wollen nun ein analoges Resultat für die Integralrechnung beweisen.

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Analysis 2 by Oliver Deiser
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