Almost periodic functions by C. Corduneanu

By C. Corduneanu

From the Preface: ``The goal of our ebook is to supply an total view of the entire easy positive factors of just about periodic capabilities, within the a variety of meanings this time period has got in smooth examine in addition to the various functions of such services. this option of the publication may still, after all, make it invaluable to these readers who're drawn to the connections that exist among concept (pure!) of virtually periodic services and such components of program because the thought of standard differential equations and partial differential equations. a number of different parts of program also are indicated, including an abundance of references. The Bibliographical Notes on the finish of just about each bankruptcy were additional to during this moment version. thoroughly new is [Chapter II.3], that is dedicated to a comparatively new type of just about periodic services: random services virtually periodic in chance. it truly is sure that those features will locate many functions within the concept of stochastic practical equations.''

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Im sup an < an 00 und 0 I'Imsup1 an = liminfa , I'ImIn . f -1 an 1 = limsupa . O. im inf an < 00, gilt n n Aufgabe 9 E*. Es sei Meine überabzählbare Menge positiver reeller Zahlen. Man beweise: Zu jeder reellen Zahl r gibt es endlich viele (paarweise voneinander verschiedene) Zahlen al , ... ,an aus M, so dass ist. Aufgabe 9 F. Eine Teilmenge U C R heißt offen, wenn es zu jedem a E U ein E > 0 gibt, so dass ]a-E,a+E[ cU. Man zeige: Jede offene Teilmenge U C R ist Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen.

Aufgabe 161*. Mithilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes beweise man die folgende Regel von de l' Hospital, (vgl. l, §16, Satz 9): Seien a, b E IR mit a < b und seien f, g : Ja, b[ ---t IR zwei differenzierbare Funktionen. Es gelte weiter: a) g'(x) =f. 0 für alle x E Ja,b[, . f'(x) b) hm -,-() x'\,a g X c) Entweder Man zeige = cER, limf(x) x'\,a = limg(x) = 0 x'\,a . fex) oder ) =c. hm- x'\,a g CX lim Ig(x)1 x'\,a = 00. 36 Aufgaben Aufgabe 16 J*. Gegeben sei die Funktion Fa(x) := (2 - al/x)X, (x E R~), wobei 0 < a < 1 ein Parameter sei.

12 Logarithmus und allgemeine Potenz 25 b) Man zeige, dass die Gleichung 1 1 +x2 = Vi eine Lösung Xo E Rt- besitzt. Man skizziere die Graphen der Funktionen { f:lR---+ x f---+ IR Jb' {g:lR---+ IR X f---+ Vx' in [0,2J und gebe ein Intervall der Länge 10- 3 an, in dem Xo liegt. § 12 Logarithmus und allgemeine Potenz Aufgabe 12 A. a) Seien I, J C IR Intervalle und g : I ---+ IR, g(I) C J. Man zeige: f : J ---+ IR Funktionen mit i) Sind fund g beide streng monoton wachsend oder beide streng monoton fallend, so ist fog streng monoton wachsend.

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